terça-feira, 8 de março de 2011

SISTEMAS DE EQUAÇÕES DO 1º GRAU - Video explicando no final


SISTEMAS DE EQUAÇÕES DO 1º GRAU

I – INTRODUÇÃO:
            Os sistemas de equação são ferramentas muito comuns na resolução de problemas em várias áreas      ( matemática, química, física, engenharia,...) e aparecem sempre  em concursos e exames, como é o caso do vestibular. Os sistemas, geralmente,  são resolvidos com uma certa facilidade o que causa  muitas vezes uma desatenção, por  parte do aluno, já que ele não tem  dificuldade para encontrar a solução do sistema. Mas ele esquece que a  dificuldade está na armação e principalmente na solução final da questão. Os  sistemas são ferramentas  que  mesmo funcionando necessitam de alguém que saiba o construir com elas.

II – MÉTODOS DE RESOLUÇÃO DE SISTEMAS DE  EQUAÇÕES DO 1º GRAU
            Além de saber armar o sistema é bom saber fazer a escolha pelo método mais rápido de resolução.
Vou apresentar três métodos sendo que o mais utilizado é o método da adição.

            1º)  método da adição
Este método consiste em deixar os coeficientes de uma incógnita opostos. Desta forma, somando-se membro a membro as duas equações recai-se em um equação com uma única  incógnita.
EXEMPLO:       2x + y   = 5
                            2x + 3y = 2
   1º passo: vamos multiplicar a primeira linha por  -1 para podermos cortar  –2x com 2x

                            2x + y   = 6       . ( - 1 )         - 2x - y   = - 6
                                                    2x + 3y = 2                             2x + 3y = 2
                                                                                                          2y = - 4
                                                                                                            y =  -4/2
                                                                                                            y =  - 2         
    2º passo: Substituir  y = - 2, em qualquer um das equações acima e encontrar o valor de x.

                                         2x + y = 6
                                   2x + ( -2 ) = 6
                                          2x – 2 = 6
                                                 2x = 6 + 2
                                                   x = 8/2
                                                   x = 4

     3º passo: dar a solução do sistema.

                                               S = { (4, -2) }                        

            2º)  método da substituição
Este método consiste em isolar uma incógnita numa equação e substituí-la na outra equação do sistema dado, recaindo-se numa equação do 1º grau com uma única  incógnita.
EXEMPLO:       2x + y   = 5
                            2x + 3y = 2
               1º passo: vamos isolar o y na primeira equação para podermos  substituir na Segunda equação.

                            2x + y   = 6          \   2x + y   =  6    \   y = 6 – 2x      
                                                    2x + 3y = 2            

           
    2º passo: Substituir  y = 6 – 2x,   na segunda equação para encontrar o valor de x.

                 2x + 3y = 2
   2x + 3.( 6 – 2x ) = 2
         2x + 18 – 6x = 2
- 4x = 2 – 18
- 4x = - 16
  - x = -16/4
  - x = - 4     . ( - 1 )
    x = 4

    3º passo: Substituir  x = 4 em y = 6 – 2x,   para encontrar o valor de y.
                       y = 6 – 2x
                       y = 6 – 2.4
                       y = 6 – 8
                       y = -2
           

     4º passo: dar a solução do sistema.

                                               S = { (4, -2) }                        


            3º)  método da  igualdade
Este método consiste em isolar uma incógnita numa equação e a mesma incógnita na outra, depois basta igualar as duas,  recaindo-se numa equação do 1º grau com uma única  incógnita.
EXEMPLO:       2x + y   = 5
                            2x + 3y = 2
           

               1º passo: vamos isolar o y na primeira e na segunda equação equação para podermos  igualar as equações.

                            2x + y   = 6          \   2x + y   =  6    \   y = 6 – 2x      
                                                    2x + 3y = 2          \   2x + 3y = 2     \   y = ( 2 – 2x ) / 3

           
    2º passo: igualar as duas equações para encontrar o valor de x.
                 6 – 2x = ( 2 – 2x ) / 3
                                                   3.( 6 – 2x ) = 2 – 2x
                                              18 – 6x = 2 – 2x
     2x – 6x = 2 – 18
           -4x = -16
             -x = -16/4
             -x = -4    . ( -1 )
              x = 4

    3º passo: Substituir  x = 4 em y = 6 – 2x,   para encontrar o valor de y.
                       y = 6 – 2x
                       y = 6 – 2.4
                       y = 6 – 8
                       y = -2
           
     4º passo: dar a solução do sistema.

                                               S = { (4, -2) }            

           
Como podemos observar, independente do método, a solução é a mesma. Então basta escolher o método que seja mais rápido e seguro.

APLICAÇÕES DE SISTEMAS DE EQUAÇÕES

01 – Num depósito existem 24 extintores de incêndio, sendo de espuma química e dióxido de carbono. Sabendo-se que o de dióxido de carbono é o triplo do de espuma química, conclui-se que o número de extintores de espuma química existentes nesse depósito é:
a) 3                             b) 4                             c) 5                             d) 6

RESOLUÇÃO:
            Vamos observar que é melhor adotar as iniciais das palavras. Pois se adotarmos x e y fica um pouco confuso na hora de dar a resposta.

E = número de extintores de espuma química
D = número de extintores de dióxido de carbono

                        E + D = 24                                 E + D = 24
                        D = 3E                                   - 3E + D = 0

Como queremos o valor de E,  basta multiplicar a segunda equação por (-1) e com o método da adição encontraremos o valor de E.
           
            E + D = 24                                E + D = 24
         -3E + D = 0                                3E  - D = 0
                                                                        4E = 24
                                                                          E = 24/4
                                                                          E = 6

            O número de extintores de espuma química é de 6 extintores.
Opção: D



02 – Eu tenho o dobro da idade da minha filha. Se a diferença de nossas idades é 23 anos, minha idade é:
a) 40 anos                   b) 46 anos                   c) 48 anos                   d) 50 anos

RESOLUÇÃO:
            M = minha idade       
            F = idade da filha
                                   M = 2F                        M – 2F = 0                               M –  2F = 0
                                   M – F = 23                  M – F  = 23   . ( - 2 )            - 2M  + 2F = - 46
                                                                                                                                            
                                                                                                                      - M  = - 46   . (-1)
                                                                                                                        M  =  46
            A minha idade é 46 anos.     
Opção: B


03 – A soma da minha idade com a da minha filha é 72. Daqui a 3anos a minha idade será o dobro da idade da minha filha.  A minha idade atual , em anos é:
a) 47                           b) 49                           c) 51                           d) 53

 RESOLUÇÃO:
            M = minha idade       
            F = idade da filha
                                   M + F = 72                   M + F = 72                M + F = 72
                                   M + 3 = 2.(F + 3)         M + 3 = 2F + 6          M  - 2F = 6 - 3
                                                                                                                                            
                                   M + F = 72    . ( 2 )      2M + 2F = 144
                                   M – 2F = 3                     M  – 2F = 3
                                                                                  3M = 147
                                                                                   M = 147/3     
                                                                                   M = 49                                             
            A minha idade é 49 anos.     
Opção: B






























QUESTÕES OBJETIVAS

01 – Luís e Maria resolveram comparar suas coleções de “compact disc” . Descobriram que têm ao todo 104 CDs e que se Maria tivesse 12 CDs a menos teria o triplo  do número de CDs do  Luís. É possível afirmar que a quantidade de CDs que Luís possui é:
a)      46
b)      40
c)      32
d)     23

02 – Em um restaurante há 12 mesas, todas ocupadas. Algumas por 4 pessoas, outras por apenas 2 pessoas num total de 38 fregueses. O número de mesas ocupadas por apenas duas pessoas é ?
a)      4
b)      5
c)      6
d)     7

03 – Um aluno ganha 5 pontos por exercícios que acerta e perde 3 por exercício que erra. Ao fim de 50 exercícios, tinha 130 pontos. Quantos exercícios acertou?
a)      35
b)      30
c)      25
d)     15

04 – Em um restaurante existem mesas de 3, 4 e 6 cadeiras num total de 16 mesas. Ocupando todos os lugares nas mesas de 3 e 4 cadeiras, 36 pessoas ficam perfeitamente acomodadas. Sabendo-se que o restaurante acomoda no máximo 72 pessoas, quantas mesas de  cada  tipo ( 3, 4 e 6) , respectivamente, existem?
a)  6, 4 e 6
b)  6, 6 e 4
c)  4, 6 e 6
d)  3, 7 e 6

05 – Um jogador de basquete fez  o seguinte acordo com seu clube: cada vez que ele convertesse um arremesso, receberia  R$ 10,00 do clube e cada vez que ele errasse pagaria  R$ 5,00 ao clube. Ao final de uma partida em que arremessou 20 vezes, ele recebeu R$ 50,00. Pode-se afirmar que o número de arremessos convertidos pelo jogador foi:
a)      0
b)      5
c)      10
d)     15

06 – Um  copo cheio tem massa de 385g; com 2/3 de água tem massa de 310g.  A massa do copo com 3/5 da água é:
a)  160 g
b)  225 g
c)  260 g
d)  295 g



07 – Num escritório de advocacia trabalhavam apenas dois advogados e um secretária. Como Dr. André e Dr. Carlos sempre advogam em causa s diferentes, a secretária, Cláudia, coloca um grampo em cada processo do Dr. André e dois grampos em cada processo do Dr. Carlos, para diferenciá-los facilmente no arquivo. Sabendo-se que ao todo são 78 processos, nos quais foram usados 110 grampos, podemos concluir que o número de processos do Dr. Carlos é igual a:
a)      64
b)      46
c)      40
d)     32

08 -  Uma pessoa retira R$ 70,00 de um banco, recebendo 10 notas, algumas de R$ 10,00 e outras de R$ 5,00. Calcule quantas notas de R$ 5,00 a  pessoa  recebeu.
a)      10
b)      6
c)      4
d)     2

09 – Numa lanchonete,  2  copos de refrigerantes e 3 coxinhas custam R$ 5,70. O  preço de 3 copos de refrigerantes e 5 coxinhas é R$ 9,30. Nessas condições, é verdade que cada copo de refrigerante custa:
a)      R$ 0,70 a menos que cada coxinha.
b)      R$ 0,80 a menos que cada coxinha.
c)      R$ 0,90 a menos que cada coxinha.
d)     R$ 0,80 a mais  que cada coxinha.

10 – Carlos e sua irmã Andréia foram com seu cachorro Bidu à farmácia de seu avô. Lá encontraram uma velha balança com defeito que só indicava corretamente pesos superiores a 60kg. Assim eles se pesam dois a dois e obtiveram as seguintes marcas:

-          Carlos e o cão pesam juntos 87kg;
-          Carlos e Andréa pesam 123kg e
-          Andréia e Bidu pesam 66kg.

Podemos afirmar que:
a)      Cada um deles pesa menos que 60kg
b)      Dois deles  pesam mais de 60kg
c)      Andréia é a  mais pesada dos três
d)     Carlos é mais pesado que Andréia e Bidu juntos.


GABARITO OBJETIVO

01 –  D
02 –  B
03 –  A
04 –  C
05 –  C
06 –  D
07 –  D
08 –  B
09 –  C
10 –  D
GABARITO COMENTADO

01 - 
            L = número de CDs de Luis
            M = número de CDs de Maria  
            L + M = 104               L + M = 104                             L + M = 104
            M – 12 = 3L            -3L + M = 12        . (-1)             3L – M = -12
                                                                                                      4L = 92
                                                                                                        L = 92/4 = 23
O número de CDs que Luis possui é: 23 CDs.
Opção: D
02 –
            D = número de mesas com  dois lugares
           Q = número de mesas com  quatro lugares

                        D + Q = 12               . ( -4 )          - 4D –  4Q = - 48
                      2D +  4Q = 38                                     2D + 4Q = 38
                                                                      
                                                                                          -2D = - 10   . (-1)
                                                                                              D = 10/2 = 5
            O número de mesas com dois lugares é : 5 mesas
Opção: B

03 –
            C = número de exercícios certos
            E = número de exercícios errados

                        C + E = 50    .( 3 )              3C + 3E = 150
                    5C – 3E = 130                        5C -  3E = 130
                                                                            8C = 280
                                                                              C = 280/8 = 35
            O número de exercícios  certos é: 35 exercícios
Opção: A

04 –
            T = número de mesas com  três lugares
            Q = número de mesas com quatro lugares
            S = número de mesas com seis lugares
                                 T + Q + S = 16
                               3T + 4Q = 36
                               3T + 4Q + 6S = 72
           
Substituindo a segunda na terceira
            3T + 4Q = 36
            3T + 4Q + 6S = 72      \    ( 36 ) + 6S = 72   \   6S = 72 – 36   \   6S = 36  \ S = 6

Substituindo o valor de S na primeira e montando um sistema com a primeira e Segunda,
            T + Q + S = 16                T + Q + 6 = 16               T + Q = 10         . (-3)       -3T - 3Q = - 30     
          3T + 4Q  = 36                   3T + 4Q = 36                3T + 4Q = 36                       3T + 4Q = 36
                                                                                                                                             -  Q = - 6
            -  Q = - 6     . ( -1 )    \    Q = 6  

            Substituindo S = 6  e  Q = 6 na primeira equação encontramos o valor de T
                        T + Q + S = 16
                        T + 6 + 6 = 16
                        T + 12 = 16     \        T = 16 – 12 = 4       \       T = 4
                       
            O restaurante possui quatro mesas de três lugares,  seis  mesas de quatro lugares e seis mesas de seis lugares.
Opção: C


05 –
            C = número de arremessos certos
            E = número de arremessos errados

                        C + E = 20       .( 5 )          5C + 5E = 100  
                  10C – 5E = 50                       10C – 5E = 50
                                                                      
                                                                       15C = 150
                                                                           C = 150/15 = 10

            O número de arremessos certos é: 10 arremessos
Opção: C


06 –
            C = a  massa do copo vazio
            A = a massa  de água de um copo cheio
                        C + A = 385                   . ( -1 )       - C  - A = - 385                      
                        C + (2/3)A = 310                               C + (2/3)A = 310
                                                                                  (2/3)A – A = - 75
                                                                                        - (1/3)A = -75        A = 225g

Substituindo na primeira temos,
                        C +A = 385
                        C + 225 = 385
                        C = 385 – 225 = 160g

Voltando ao enunciado temos,
                        C + (3/5)A = 160 + (3/5)160 = 160 + 135 = 295g

A massa do copo com 3/5 de água é: 295g

Opção: D
                         






07 –
            A = número de processos do Dr. André
            C = número de processos do Dr. Carlos
                        A + C = 78                  .( -1)         -A – C =  - 78       
                        A + 2C = 110                                A + 2C = 110
                                                                                      C = 32

            O número de processos do Dr. Carlos é: 32 processos
Opção: D
           
08 –
            C = número de notas de R$ 5,00 ( cinco reais )
            D = número de notas de R$ 10,00 ( dez  reais )
                            D + C = 10           . (-10)       - 10D  - 10C = - 100    
                        10D + 5C = 70                            10D + 5C = 70
                                                                                 
        - 5 C = - 30   . (-1)    \   5C = 30   \     C = 30/5  \  C = 6
            Recebeu 6 notas de  notas de R$ 5,00.
Opção: B
09 –
            R = preço de um copo de refrigerante
            C = preço de uma coxinha
                        2R + 3C = 5, 7       . (-3)             - 6R – 9C =  -17,1
                        3R + 5C = 9, 3       . (2)               6R  + 10C = 18,6  
                                                                                         C = 1,5

            Substituindo C = 1,5 na primeira equação temos,
                        2R + 3C = 5,7
                        2R + 3. 1,5 = 5,7      \   2R + 4,5 = 5,7    \   2R = 5,7 – 4,5   \   2R = 1,2  \  R = 0,6

            A diferença entre um copo de refrigerante e uma coxinha é 1,5 – 0,6 = 0,9. Então cada coxinha custa R$0,90 centavos a mais que um copo de refrigerante.
Opção: C

10 –
            A = massa de Andréia
            B = massa de Bidu
            C = massa de Carlos
                        C + B = 87             \    B = 87 - C
                        C + A = 123           \    A = 123 - C
                        A + B = 66
            Substituindo a primeira e a segunda na terceira,
                        A + B = 66     \     ( 87 – C ) + ( 123 – C ) = 66     \     87 – C + 123 – C = 66
                                                                                                                210 – 2C = 66
                                                                                                                         -2C = 66 – 210
                                                                                                                         -2C = -144  .(-1)
                                                                                                                           2C = 144
                                                                                                                             C  = 72 kg
            Substituindo temos  B = 87 – 72 = 15 kg  e  A = 123 – 72 = 51kg
            Então Carlos é mais pesado que Andréia e Bidu juntos.
Opção: D











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